Le auree sonate per pianoforte di Mozart

Che Mozart sia stato uno dei più grandi compositori di ogni tempo lo sappiamo, e un'affermazione come questa suona quasi ovvia e scontata. Ma che il buon Amadeus fosse un appassionato di matematica quasi patologico, be', questo non tutti lo sanno.
Mi piace pensare che l'amore di Mozart per il pensiero matematico abbia avuto un influsso determinante sulla sublime e inarrivabile grandezza delle sue opere: quasi a certificare che, in fin dei conti, la musica altro non è che matematica sotto mentite spoglie.
L'ossessione di Mozart per la matematica cominciò in tenera età (da un enfant prodige come lui vi aspettavate forse qualcosa di diverso?). La sorella Nannerl riferì che Wolfgang, durante gli anni della scuola, "non pensava e non parlava d'altro che di figure geometriche".
Secondo alcune testimonianze, un giorno il tenero fanciullo ebbe l'idea di scrivere numeri col gesso su tutte le pareti di casa. Passò poi alle sedie, ai tavoli e al pavimento. Una volta riempite tutte le superfici disponibili, fece lo stesso nelle case dei vicini.
In una lettera alla sorella datata 19 maggio 1770, il quattordicenne Wolfgang scrive:
"Vi ringrazio di avermi mandato questi Rechenstorien, e vi prego di mandarmi ancora un poco di questi Kunsten"
Il riferimento è a un libro di aritmetica e algebra di tale Josef Spengler, intitolato “Anfangsgründe der Rechenkunst und Algebra“, ovvero "Rudimenti di aritmetica e algebra". Evidentemente la sorella aveva allegato ad una sua lettera qualcuno degli esercizi proposti dal libro, e il giovane Mozart aveva trovato grande diletto nella loro risoluzione.
L'attrazione di Mozart per la matematica non svanì con l'età adulta. Di questo abbiamo infatti almeno due prove, che sembrano anche indicare un particolare interessamento del grande compositore per il calcolo delle probabilità.
Ecco la prima prova.

I margini (nella figura qui sotto, in basso e a sinistra) del manoscritto di una sua composizione del 1782, la «Fantasia e fuga in do maggiore» K394 sono riempiti di calcoli per trovare la probabilità di vincere una lotteria.

E la seconda? Be', della seconda vi ho parlato in un post dedicato al gioco musicale dei dadi.
Non posso non ricordare come questo gioco, dai risvolti matematici e probabilistici molto interessanti, abbia anche divertito decine di spettatori lo scorso ottobre al Festival della Statistica di Treviso, dove assieme al pianista Giancarlo Panizzo ho raccontato queste e altre amenità musical-matematiche nello spettacolo "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" (stay tuned: i giochi mozartiani torneranno al Festival in autunno).

Un ulteriore indizio della fascinazione del genio salisburghese per la matematica va in direzione diversa: non più la teoria delle probabilità, ma la sezione aurea.
Cos'è la sezione aurea? In breve: immaginate di prendere due bastoncini, quello più corto di lunghezza A, e quello più lungo di lunghezza B. Supponiamo che A stia a B come B sta alla somma delle lunghezze A+B. Se sussiste questa particolare relazione, il rapporto tra le due lunghezze B e A è uguale a un numero circa uguale a 1,618, che viene indicato solitamente con la lettera greca φ ("phi") e viene chiamato "sezione aurea" o "rapporto aureo" o "numero aureo".

Nemmeno questo interesse mozartiano per il rapporto "divino", già amato dagli antichi e da Leonardo da Vinci, deve stupire. Se una caratteristica emerge con chiarezza dalle composizioni di Mozart, questa ha che fare con l'equilibrio strutturale, con una perfezione della forma che sembra tradursi immediatamente in bellezza ed emozione. Come affermò il critico Hanns Dennerlein, Mozart possedeva un senso innato delle proporzioni.

Un esempio sorprendente di questo lo troviamo nelle sue 19 sonate per pianoforte. La struttura classica, in auge ai tempi di Mozart, prevede tre movimenti: solitamente un allegro come primo movimento, un lento (adagio, andante o qualcosa di simile) come secondo, e un movimento di chiusura che spesso è un allegro o un presto. In questo format standardizzato, ognuno dei movimenti (quasi obbligatoriamente il primo, opzionalmente gli altri due) poteva a sua volta essere strutturato secondo la cosiddetta "forma sonata", che prevedeva tre parti:
1. l'esposizione, in cui viene presentato il tema musicale principale;
2. lo sviluppo, in cui il tema viene espanso e rielaborato;
3. la ripresa, in cui il tema iniziale viene rivisitato in chiave di finale.
Per comodità, farò riferimento a due parti: l'esposizione e l'unione tra sviluppo e ripresa. Ebbene, qualcuno si è preso la briga di analizzare numerosi movimenti delle sonate per pianoforte di Mozart (più o meno quelli strutturati in forma sonata) e per ognuno misurare la durata delle sue due parti.

John F. Putz
Lo studioso che ha eseguito questa ricerca con maggiore accuratezza è stato John F. Putz, un matematico dell'Alma College del Michigan. I suoi risultati furono pubblicati sul numero di ottobre 1995 della rivista Mathematics Magazine, della Mathematical Association of America.
Putz ricorda che un giorno il figlio, musicista, gli parlò della struttura delle sonate per pianoforte di Mozart. Ricordando di aver letto qualcosa sulla propensione del musicista austriaco per l'equilibrio e l'eleganza formale, il matematico si mise al lavoro per verificare se si poteva riscontrare qualche pattern matematico nella suddivisione dei movimenti di queste composizioni.
Nella tabella seguente sono riportati i movimenti analizzati da Putz e, per ognuno, il numero di battute musicali della prima parte e quello della seconda parte. Si noti che il numero di battute è, di solito, un'ottima approssimazione della durata: sotto l'ipotesi che il tempo musicale resti invariato nel corso dello stesso movimento, il numero di battute è proporzionale alla durata in secondi.


Il risultato ottenuto da Putz è molto interessante: il rapporto tra la durata della seconda parte (sviluppo+ripresa) e quello della prima parte (esposizione) è spesso aureo, cioè molto vicino al numero ϕ ≈ 1,618: un po' come il rapporto tra le due dimensioni di una carta di credito.
Per le proprietà della sezione aurea, ciò significa che anche il rapporto tra la durata complessiva di un movimento e la durata della seconda parte è circa aureo.

Prendiamo il caso emblematico del primo movimento della Sonata n. 1 per pianoforte K 279. L'esposizione dura 38 battute, mentre sviluppo e ripresa si estendono per 62 battute. In totale il movimento ha 100 battute. Ora, il modo migliore di dividere in sezione aurea due 100 battute è proprio metterne 38 da una parte e 62 dall'altra. Infatti 62 diviso 38 è circa 1,63 e 100 diviso 62 è circa 1,61. Se Mozart avesse fatto durare l'esposizione una sola battuta in più e la seconda parte una battuta in meno, il risultato sarebbe stato molto meno aureo: 61/39 ≈ 1,56 e 100/61 ≈ 1,64.
Coincidenza? Risultato intenzionale? Non lo sappiamo.

Ma anche gli altri movimenti analizzati mostrano proporzioni simili. Con un software specializzato ho provato a ripercorrere l'analisi effettuata da Putz, ritrovando perfettamente i risultati da lui ottenuti.
Putz provò a rappresentare graficamente la durata (in battute) della seconda parte di ogni movimento in funzione della durata (in battute) dell'intero movimento. Il risultato è illustrato nella figura seguente (in ordinata la durata della seconda parte, in ascissa la durata totale).



Gli statistici chiamano "grafico di dispersione" un diagramma come questo. Il fatto che i punti risultano più o meno concentrati su una linea retta dimostra che esiste una relazione approssimativamente lineare tra le due durate in gioco.
Nella figura seguente è mostrata la linea retta che meglio d'ogni altra rappresenta questa relazione tra durata della seconda parte del movimento e durata totale.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ordinata e il numero di battute del movimento complessivo in ascissa


La retta rappresentata si dice retta di regressione.
Le tecniche di regressione sono metodi molto usati dagli statistici per trovare la relazione (lineare o non lineare) che legano due grandezze per le quali abbiamo a disposizione una certa quantità di misurazioni numeriche.
In questo caso le due grandezze (durata della seconda parte e durata totale) risultano legate da una relazione quasi perfettamente lineare.
Questo è in linea con quanto riportato sopra: il rapporto tra la durata totale e la durata della seconda parte è circa costante e circa uguale al numero aureo ϕ ≈ 1,618. Questo rapporto corrisponde all'inverso della pendenza, cioè del coefficiente angolare, della retta di regressione.

Gli statistici sono soliti utilizzare un indicatore, detto coefficiente di correlazione, per misurare la bontà dell'approssimazione lineare individuata. Il coefficiente può variare da un valore 0 (nessuna correlazione lineare tra le due grandezze) e un valore 1 (correlazione lineare perfetta).
Nel caso in esame il coefficiente di correlazione risulta uguale a 0,99.

Sulla base di questi risultati, sembrerebbe lecito concludere che Mozart abbia suddiviso i suoi movimenti utilizzando consapevolmente la sezione aurea. Ma Putz non si accontentò di questo esito, e rappresentò su un altro grafico di dispersione la durata della prima parte (esposizione) in funzione della durata della seconda parte (sviluppo+ripresa).
Il risultato è mostrato nella figura seguente (in ordinata la durata della prima parte, in ascissa la durata della seconda parte).


Com'è facile riconoscere, i punti appaiono questa volta più sparpagliati. La figura seguente mostra la retta di regressione.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della prima parte (esposizione) in ordinata e il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ascissa

In questo caso il coefficiente di correlazione risulta pari a 0,938: ancora alto, ma non altissimo come prima. Come si spiega questa differenza?
Putz ha dimostrato che, quando il rapporto tra due numeri B ed A (con 0 ≤ A ≤ B) è vicino, ma non uguale, alla sezione aurea (come accade in ciascuno dei nostri movimenti mozartiani, in cui i due numeri A e B sono rispettivamente le durate della prima e della seconda parte), si ha necessariamente che il rapporto (A+B)/B è più aureo del rapporto B/A. Per chi è interessato, la dimostrazione può essere trovata su questa pagina.

Alla fine di tutta la discussione, una domanda resta aperta: Mozart ha composto le sue magnifiche sonate per pianoforte adoperando intenzionalmente la sezione aurea, o la proporzione osservata da Putz è un puro caso? Lo stesso studioso americano, a sorpresa, conclude la sua analisi affermando che con ogni probabilità il grande compositore non utilizzò consapevolmente il rapporto divino.
Ma questo è del tutto opinabile. In ogni caso, credo sia ragionevole pensare che la struttura matematica di queste composizioni non sia unicamente frutto del caso, e che l'attrazione fatale che legò Mozart ai numeri rivesta, in questa storia, un ruolo determinante.

Commenti

  1. Buongiorno, grazie dell'interessante articolo!
    Stamane ho provato ad approfondire l'argomento e ho dato un'occhiata al I movimento della sonata n°1 K.V. 279 in do maggiore: credo che quello che ho notato sia altresì curioso.
    Il suddetto I movimento è in forma sonata, che come Lei ha scritto si è stabilizzata nel periodo classico (nel settecento) nella forma tripartita Esposizione-Sviluppo-Ripresa.
    La forma base dell'Esposizione è: Introduzione lenta (assente nelle sonata per pianoforte di Mozart), Tema A, Ponte modulante, Tema B (in una tonalità differente con determinati rapporti con quella del tema A), Codette.
    Segue uno Sviluppo che è molto libero e senza una sua "sottostruttura".
    Termina la Ripresa che riflette lo schema dell'Esposizione con un'importante differenza: la tensione che si veniva a creare tra le due tonalità differenti A e B qui viene annullata portando entrambi i temi (o gruppi tematici) nella stessa tonalità di partenza (A), pertanto il Ponte modulante perde la sua funzione e può venire a volte annullato. Segue una Coda che può essere uguale alle Codette oppure trovare un suo sviluppo ulteriore vista la posizione di chiusura definitiva del movimento.
    Fatta questa premessa necessaria, ritorno al nostro KV. 279

    Esposizione
    Gruppo tematico A: 15,5 battute
    Ponte modulante: 3,5 battute
    Totale 19 misure

    Gruppo tematico B: 11 battute
    Codette: 8 battute
    Totale: 19 misure

    Notiamo quindi una perfetta divisione in due parti dell'esposizione e una quasi perfetta sezione aurea nel secondo gruppo, 19:1,618=11,742

    Per quanto riguarda lo Sviluppo, divido le 20 misure in due gruppi da 9 e da 11 battute ciascuno, all'interno dei quali suddivido in frasi musicali ove viene elaborato materiale musicale differente.
    Si ha così:

    * 6 misure di sviluppo del materiale A (accordo iniziale e arpeggi dell'incipit)
    # 2,5 misure che può essere derivato dal Ponte modulante (frammenti di scale discendenti)
    § 0,5 misure di collegamento (breve scala)

    * 3,5 misure di sviluppo del materiale A (frammento tematico)
    # 4 misure che ritornano al precedente materiale A (incipit intensificato)
    § 1,5 misure di collegamento (scala sviluppata)

    tra le tre frasi *, # e § sussistono rapporti di sezione aurea quasi perfetti
    * 6:1,618:=3,708 (3,5)
    # 4:1,618=2,472 (2,5)
    § 1,5:1,628=0,92 (1,5-0.92=0,58) (0,5)

    Per quanto riguarda la Ripresa ritroviamo nuovamente la sezione aurea:

    Gruppo tematico A: 12 misure
    Ponte modulante: 4,5 misure
    Totale: 16,5 battute

    Gruppo tematico B: 17,5 misure
    Coda: 9 misure
    Totale: 26,5 battute

    26,5:1,618=16,378

    Tante altre perle contiene questa Musica, ma essendo di carattere non matematico (credo almeno), non mi dilungherò oltre (che già ho annojato abbastanza mi sa).

    Buon pomeriggio!

    Matteo Andri

    RispondiElimina
  2. Grazie molte, Matteo, per l'interessante commento!
    Indubbiamente questa musica contiene innumerevoli e meravigliose perle: scoprire che alcune di queste riflettono bagliori matematici è sempre una scoperta sorprendente e piacevole.
    Buona giornata!

    RispondiElimina

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